Fuerza mínima para arrastrar una caja por una superficie y aceleración cuando la fuerza es mayor (6173)

, por F_y_Q

Una gran caja llena de mercadería, cuyo peso es 1 000 N, está en reposo sobre una superficie horizontal rugosa. Un joven trata de arrastrar la caja tirando con una cuerda que forma un ángulo de 30 ^o con la horizontal.

a) Si el coeficiente de rozamiento estático entre la caja y la superficie es \mu_e  = 0.5, determina la fuerza mínima que debe hacer el joven para empezar a moverla.

b) ¿Cuál es la fuerza máxima que puede aplicar el joven para que la caja no se despegue del suelo?

c) Si el joven aplica una fuerza de F = 600 N y el coeficiente de roce cinético es \mu_c =  0.3, calcula cuánto se demora en arrastrar la caja una distancia de 20 m.


SOLUCIÓN:

Dado que la fuerza se aplica con un ángulo sobre la horizontal, las componentes horizontal y vertical de la fuerza son:

\left F_x = F\cdot cos\ 30^o \atop F_y = F\cdot sen\ 30^o \right

a) Para que se mueva horizontalmente, la componente horizontal de la fuerza ha de ser, como mínimo, igual a la fuerza de rozamiento estático. Esta fuerza de rozamiento depende de la normal, que a su vez depende de la componente vertical de la fuerza aplicada. La podemos deducir si hacemos que la suma de las fuerzas verticales sea nula:

F_y + N  = p\ \to\ N = p - F_y

Ahora imponemos que la suma de las fuerzas horizontales sea nula y obtenemos el valor mínimo de la fuerza:

F_x = F_R\ \to\ F\cdot cos\ 30^0  = \mu_e\ (p - F\cdot sen\ 30^o)

0.866F = 0.5(10^3 - F\cdot sen\ 30^o)\ \to\ 0.866F  = 500 - 0.25F

Si despejamos y resolvemos:

F = \frac{500\ N}{(0.866 + 0.25)} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 448\ N}}


b) La fuerza que puede aplicar sin que levante la caja la calculamos imponiendo la condición de que la componente vertical de la fuerza sea, como máximo, igual al peso de la caja:

F_y = p\ \to\ F\cdot sen\ 30^o = p\ \to\ F = \frac{p}{sen\ 30^o} = \frac{10^3\ N}{0.5} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{2\cdot 10^3\ N}}}


c) La masa de la caja la obtenemos a partir de su peso (porque será necesaria para resolver este apartado):

p = m\cdot g\ \to\ m = \frac{10^3\ N}{9.8\ \frac{m}{s^2}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 102\ kg}

Aplicamos la segunda ley de la dinámica a la dirección horizontal para calcular la aceleración que adquiere la caja:

F_x - F_R  = m\cdot a\ \to\ a = \frac{F\cdot cos\ 30^o - \mu_c(p - F\cdot sen\ 30^o)}{m}

Sustituimos por los datos conocidos y calculamos la aceleración:

a = \frac{(519.6 - 210)\ N}{102\ kg} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{3.03\ \frac{m}{s^2}}}

Como la caja adquiere un movimiento acelerado en la dirección horizontal, aplicamos la ecuación del MRUA para hacer el cáculo del tiempo, eso sí, teniendo en cuenta que parte del reposo:

d = \cancelto{0}{v_0}\cdot t - \frac{a}{2}\cdot t^2\ \to\ t = \sqrt{\frac{2d}{a}} = \sqrt{\frac{2\cdot 20\ \cancel{m}}{3.03\ \frac{\cancel{m}}{s^2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 3.63\ s}}