Potencial de tres cargas en el centro de un triángulo equilátero (6765)

, por F_y_Q

Tres cargas puntuales q_1 = 5\ \mu C, q_2 = 4\  \mu C y q_3 = -2\  \mu C están ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado igual a 10 cm. Determina:

a) El potencial eléctrico en el centro del triángulo.

b) El trabajo necesario para llevar una carga puntual de 7\ \mu C desde el infinito hasta el centro del triángulo.


SOLUCIÓN:

En primer lugar es necesario conocer a qué distancia de cada vértice está el centro del triángulo. Como es un triángulo equilátero, el centro será equidistante de cada vértice. Calculas la altura del triángulo y el centro estará a la mitad de ese altura:

h = \sqrt{(10^2 - 5^2)\ cm^2} = 8.66\ cm\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bf d = 4.33\ cm}

El potencial total será la suma de los potenciales creados por cada carga en el centro del triángulo. Hacemos el valor del potencial de la primera carga:

V_1 = K\cdot \frac{q_1}{d} = \9\cdot 10^9\ \frac{N\cdot m\cancel{^2}}{C\cancel{^2}}\cdot \frac{5\cdot 10^{-6}\ \cancel{C}}{4.33\ \cdot 10^{-2}\ \cancel{m}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{1.04\cdot 10^6\ V}}

El cálculo de los otros dos potenciales es análogo, solo debes cambiar los valores de las cargas, respetando el signo de cada una:

V_2 = K\cdot \frac{q_2}{d} = \9\cdot 10^9\ \frac{N\cdot m\cancel{^2}}{C\cancel{^2}}\cdot \frac{4\cdot 10^{-6}\ \cancel{C}}{4.33\ \cdot 10^{-2}\ \cancel{m}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{8.31\cdot 10^5\ V}}

V_3 = K\cdot \frac{q_1}{d} = \9\cdot 10^9\ \frac{N\cdot m\cancel{^2}}{C\cancel{^2}}\cdot \frac{-2\cdot 10^{-6}\ \cancel{C}}{4.33\ \cdot 10^{-2}\ \cancel{m}} = \color[RGB]{0,112,192}{\bm{-4.16\cdot 10^5\ V}}

V_T = V_1 + V_2 + V_3 = (1.04\cdot 10^6 + 8.31\cdot 10^5 - 4.16\cdot 10^5)\ V = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{1.46\cdot 10^6\ V}}}


b) El trabajo será el producto de la carga que se traslada por la diferencia de potencial entre los puntos que se desplaza:

W = q\cdot \Delta V = 7\cdot 10^{-6}\ C\cdot (1.46\cdot 10^6 - \cancelto{0}{V_{\infty}})\ V = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 10.2\ J}}