Proyectil lanzado parabólicamente desde un edificio a otro

, por F_y_Q

Desde la azotea de un edificio de 50 pisos (2 metros de altura por piso), se lanza un proyectil con un ángulo de inclinación de 60 ^o con respecto a la horizontal, con el propósito de impactar en la azotea de un edificio de 23 pisos (2 metros de altura por piso), que se encuentra alejado 500 metros y, para que el proyectil no sea detectado por las defensas del edificio, éste debe durar en el aire 13.5 segundos como máximo.

Con la información suministrada y efectuando los procesos matemáticos correspondientes, responde a las preguntas siguientes:

a) ¿Cuál es la velocidad de lanzamiento del proyectil para lograr el objetivo?

b) ¿Cuál es la velocidad con la que impacta el proyectil contra la azotea del edificio de 23 pisos?

c) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil desde su lanzamiento?

d) ¿Cuál es el ángulo de impacto del proyectil con respecto a la vertical?

e) ¿Cuál es el tiempo que tarda el proyectil en lograr su altura máxima?

f) ¿Cuál es la velocidad con la que el proyectil efectúa su trayectoria horizontal?

g) ¿Cuál es el tiempo que tarda el proyectil en caer desde su punto de máxima altura hasta lograr el objetivo?


SOLUCIÓN:

Lo primero que hay que tener claro es cuáles son las ecuaciones de la velocidad y de la posición del proyectil en este tipo de lanzamiento:
Velocidad:
\color{blue}{v_x = v_0\cdot cos\ 60}
\color{blue}{v_y = v_0\cdot sen\ 60 - gt}

Posición:
\color{blue}{x = v_0\cdot t\cdot cos\ 60}
\color{blue}{y = y_0 + v_0\cdot t\cdot sen\ 60 - \frac{g}{2}\cdot t^2}

a) Para calcular la velocidad inicial del lanzamiento puedes usar la ecuación de la posición horizontal porque sabes que la distancia a la que está el edificio objetivo es de 500 m:

v_0 = \frac{x}{t\cdot cos\ 60} = \frac{500\ m}{13.5 s\cdot cos\ 60} = \fbox{\color{red}{\bm{74.1\ \frac{m}{s}}}}


Apartados b) y f). Para saber la velocidad con la que impacta es necesario conocer las componentes de la velocidad y luego hacer la resultante:

v_x = 74.1\ \frac{m}{s}\cdot cos\ 60 = \fbox{\color{red}{\bm{37\ \frac{m}{s}}}}


v_y = 74.1\ \frac{m}{s}\cdot sen\ 60 - 9.8\ \frac{m}{s\cancel{^2}}\cdot 13.5\ \cancel{s} = \color{blue}{- 58.2\ \frac{m}{s}}

v_f = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(37^2 + 58.2^2)\ \frac{m^2}{s^2}} = \fbox{\color{red}{\bm{69\ \frac{m}{s}}}}


Apartados c) y e). La altura máxima se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad es nula v_y = 0:

t_s = \frac{v_0\cdot sen\ 60}{g} = \frac{74.1\ \frac{m}{s}\cdot sen\ 60}{9.8\ \frac{m}{s^2}} = \fbox{\color{red}{\bm{6.5\ s}}}


y_{m\acute{a}x} = 100\ m + 74.1\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 6.5\ \cancel{s}\cdot sen\ 60 - 4.9\ \frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 6.5^2\ \cancel{s^2} = \fbox{\color{red}{\bm{310\ m}}}


d) Para calcular el ángulo debes considerar la tangente como cociente entre las componentes de la velocidad:

tg\ \alpha = \frac{v_x}{v_y}\ \to\ \alpha = arctg\ \frac{37}{-58.2} = \fbox{\color{red}{\bm{-32.4^o}}}


g) El tiempo que tarda el proyectil en caer desde su punto de máxima altura es la diferencia entre el tiempo total y el que tarda en subir:

t_c = t_T - t_s = (13.5 - 6.5)\ s = \fbox{\color{red}{\bm{7\ s}}}