Punto en el que la fuerza de dos cargas sobre una tercera es cero (4994)

, por F_y_Q

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Una carga de -3\cdot 10 ^{-9}\ C y una carga de -5.8\cdot 10 ^{-9}\ C se separan una distancia de 50 cm. Determina la posición en la que se puede colocar una tercera carga de 7.5\cdot 10^{-9} de modo que la fuerza electrostática neta sobre ella sea cero.

P.-S.

En el siguiente esquema puedes ver la situación que describe el enunciado:

(Pinchado sobre la miniatura puedes ver el esquema con más detalle).

Dado que la fuerza es el producto del campo por la carga, podemos escribir la fuerza neta sobre la tercera carga como \vec F_R = q_3 \cdot \vec E_R. La fuerza resultante (o neta) sobre la tercera carga será cero cuando la suma vectorial de los campos \vec E _1 y \vec E _2 sea nula.
Debes recordar cuál es el sentido del campo eléctrico para las cargas negativas. Como ambas cargas son negativas, el punto que buscamos ha de estar entre las dos cargas dadas.
Cuando los módulos de los vectores \vec E _1 y \vec E _2 sean iguales, el vector resultante también lo será porque tienen sentidos contrarios.

E_1 = E_2\ \to\ K\cdot \frac{q_1}{x^2} = K\cdot \frac{q_2}{(50 - x)^2}\ \to\ \frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(50 - x)^2}

Debemos operar para obtener una ecuación de segundo grado:

q_1(50 - x)^2 = q_2x^2\ \to\ q_1(50^2 - 100x + x^2) = q_2x^2

Si sustituimos por los valores de las cargas (siempre en valor absoluto) y reorganizamos:

2.8\cdot 10^{-9}x^2 + 3\cdot 10^{-7}x - 7.5\cdot 10^{-6} = 0

Se obtienen dos valores que son \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{x_1 = 20.92\ cm}}} y \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{x_2 = -128.1\ cm}}.
Solo vamos a considerar el valor \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{x_1}}} porque es el que cumple que ambos vectores tengan sentido contrario.