Tiempo de vuelo y distancia a la que un proyectil choca con una montaña (5543)

, por F_y_Q

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Un proyectil es lanzado a una velocidad de 74 \ \textstyle{m\over s} con un ángulo de 52 ^o sobre la horizontal, cayendo en una zona de una montaña que está 15 m por encima de la altura que fue lanzado el proyectil. Calcula:

a) ¿Cuánto tiempo permanece el proyectil en el aire?

b) ¿A qué distancia horizontal cae el proyectil?

P.-S.

Se trata de un lanzamiento parabólico en el que conocemos la velocidad inicial del lanzamiento y el ángulo con el que es lanzado el proyectil. Las componentes de la velocidad inicial y las de la velocidad en cada eje son:

Velocidad en eje X (MRU):

v_{0x} = v_x = v_0\cdot cos\ \alpha\ \to\ v_x = 74\ \frac{m}{s}\cdot cos\ 52^o = 45.6\ \frac{m}{s}

Velocidad en eje Y (MRUA):

v_{0y} = v_0\cdot sen\ \alpha = 74\ \frac{m}{s}\cdot sen\ 52^o = 58.3\ \frac{m}{s}
v_y = v_{0y} - gt\ \to\ v_y = 58.3 - 9.8t

Las ecuaciones de la posición en cada eje, que son las que nos interesan para hacer los cálculos pedidos, son:

Posición en eje X (MRU):

x = v_x\cdot t = 45.6t

Posición en el eje Y (MRUA):

y = v_{0y}\cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = 58.3t - 4.9t^2

a) El proyectil impacta en un punto cuya posición vertical el 15 m, que es la condición que le ponemos a la ecuación de la posición:

15 = 58.3t - 4.9t^2\ \to\ 4.9t^2 - 58.3t + 15 = 0

Ecuación de segundo grado que tenemos que resolver y para la que obtenemos dos valores:

t_1 = 0.26\ s y t_2 = 11.6\ s. El primer valor hace referencia al tiempo para que el proyectil alcance esa altura en el ascenso por lo que no es la solución que buscamos. Nuestra solución es el segundo tiempo: \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{t_2 = 11.6\ s}}}

b) Para saber la distancia horizontal a la que impacta sustituimos el valor del tiempo calculado en la ecuación de la posición en el eje X:

x = 45.6\ \frac{m}{\cancel{s}}\cdot 11.6\ \cancel{s} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 529\ m}}

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