Velocidad a media altura y distancia de la base a la que cae una bolita que rueda por una superficie horizontal

, por F_y_Q

Una bolita rueda sobre una superficie horizontal con una velocidad de módulo desconocido cuando alcanza el borde y comienza a caer. Sabiendo que demora 2,2 s en llegar al piso y que la velocidad en ese instante vale 35 m/s, determina:

a) ¿A qué distancia de la base caerá la bolita?

b) El valor de la velocidad cuando su altura sea la mitad de la altura desde la que inició la caída.


SOLUCIÓN:

La bolita sigue un movimiento equivalente a un lanzamiento horizontal en el que la velocidad horizontal es constante e igual a la que llevaba la bolita al rodar por la superficie, mientras que la velocidad vertical varía por acción de la aceleración de la gravedad. Las ecuaciones del movimiento son:
Para la velocidad:
v_x = v_0
v_y = g\cdot t
Para la posición:
x = v_0\cdot t
y = \frac{g}{2}\cdot t^2
a) Debemos calcular la velocidad de la bolita cuando abandona el plano horizontal y lo hacemos a partir del valor de la velocidad cuando llega al suelo:
v_f = \sqrt{v_0^2 + v_y^2}\ \to\ v_0 = \sqrt{v_f^2 - v_y^2}
Si sustituimos por la ecuación de la velocidad vertical:
v_0 = \sqrt{v_f^2 - (g\cdot t)^2} = \sqrt{[35^2 - (9,8\cdot 2,2)^2]\frac{m^2}{s^2}} = 27,6\ \frac{m}{s}
La distancia a la que caerá de la base es:

x = v_0\cdot t = 27,6\frac{m}{\cancel{s}}\cdot 2,2\ \cancel{s} = \bf 60,7\ m


b) La altura desde la que empieza a caer la calculamos a partir de la ecuación de la posición vertical y el tiempo que tarda en caer:
h = 9,8\frac{m}{\cancel{s^2}}\cdot 2,2^2\ \cancel{s^2} = 23,7\ m
El tiempo que tardará la bolita en estar a la mitad de la altura es:
\frac{h}{\cancel{2}} = \frac{g}{\cance{2}}\cdot t^2\ \to\ t = \sqrt{\frac{h}{g}} = \sqrt{\frac{23,7\ \cancel{m}}{9,8\frac{\cancel{m}}{s}}} = 1,56\ s
La velocidad en ese punto se obtiene a partir de las componentes horizontal y vertical:

v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2} = \sqrt{[27,6^2 + (9,8\cdot 1,56)^2]\frac{m^2}{s^2}} = \bf 23\ \frac{m}{s}