Velocidad y aceleración en un movimiento circular acelerado (7319)

, por F_y_Q

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Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio 40 cm de tal manera que su posición angular viene dado por:

\theta = 2t + \frac{t^2}{2}\ \text{(rad)}

Calcula:

a) La velocidad angular y tangencial para cualquier instante.

b) La aceleración angular y tangencial para cualquier instante.

c) La aceleración normal para t = 2 s.

d) La aceleración total para el instante t = 2 s.

P.-S.

a) La velocidad angular la obtienes si haces la derivada de la posición angular con respecto al tiempo:

\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d(2t + \frac{t^2}{2})}{dt}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\omega = (2 + t)\ \frac{rad}{s}}}}


La velocidad tangencial es el producto de la velocidad angular por el radio, expresado en metros:

v = \omega\cdot R = (2 + t)\cdot 0.4\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{v = (0.8 + 0.4t)\ \frac{m}{s}}}}


b) La aceleración angular la calculas haciendo la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo:

\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d(2 + t)}{dt}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{\alpha = 1\ \frac{rad}{s^2}}}}


La aceleración tangencial, de manera análoga a la velocidad tangencial, es el producto de la aceleración angular y el radio:

a_t = \alpha\cdot R = 1\cdot 0.4\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a_t = 0.4\ \frac{m}{s^2}}}}


c) La aceleración normal es:

a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{\omega^2\cdot R\cancel{^2}}{\cancel{R}}\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{a_n = \omega^2\cdot R}}

Si sustituyes el tiempo por el valor de 2 s:

a_n = (2 + 2)^2\ s^{-2}\cdot 0.4\ m\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a_n = 6.4\ \frac{m}{s^2}}}}


d) La aceleración total la calculas a partir de las componentes tangencial y normal:

a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{(0.4^2 + 6.4^2)\ \left(\frac{m}{s^2}\right)^2}\ \to\ \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bm{a = 6.43\ \frac{m}{s^2}}}}


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