Ángulo de lanzamiento, tiempo de vuelo y alcance máximo de una flecha

, por F_y_Q

Se dispara una flecha, que describe una trayectoria parabólica, de modo que su alcance horizontal es tres veces el valor de su altura máxima.

a) Encuentra el ángulo de lanzamiento de la flecha.

b) Si la velocidad inicial es de 13.0 m/s, determina el tiempo de vuelo de la flecha con el ángulo hallado en el apartado anterior.

c) Halla la altura y el alcance máximos si el ángulo de lanzamiento es de 42^o; considerando la rapidez y la gravedad constantes. ¿Cómo puede obtenerse un mayor alcance horizontal? Justifica tu respuesta.


SOLUCIÓN:

a) A partir de las ecuaciones del alcance y la altura máximos puedes imponer la condición que da el enunciado para despejar el valor del ángulo:

x_{m\acute{a}x} = 3h_{m\acute{a}x}\ \to\ \frac{\cancel{v_0^2}\cdot sen\ (2\theta)}{\cancel{g}} = 3\cdot \frac{\cancel{v_0^2}\cdot sen^2\ \theta}{2\cancel{g}}

Puedes escribir el seno del ángulo doble como el doble producto del seno por el coseno del ángulo:

sen\ (2\theta)} = 2sen\ \theta\cdot cos\ \theta



2\cancel{sen\ \theta}\cdot cos\ \theta = \frac{3sen\cancel{^2}\ \theta}{2}\ \to\ \frac{sen\ \theta}{cos\ \theta} = \frac{4}{3}\ \to\ \theta = arctg\ \frac{4}{3} = \fbox{\color{red}{\bm{53.1^o}}}


b) Para calcular el tiempo de vuelo solo tienes que sustituir en la ecuación oportuna:

t_v = \frac{2\cdot v_0\cdot sen\ \theta}{g} = \frac{2\cdot 13\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}\cdot sen\ 53.1^o}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s\cancel{^2}}} = \fbox{\color{red}{\bm{2.12\ s}}}


c) A partir de las ecuaciones del apartado a) puedes calcular los valores pedidos:

h_{m\acute{a}x} = \frac{v_0^2\cdot sen^2\ \theta}{2g} = \frac{13^2\ \frac{m\cancel{^2}}{\cancel{s^2}}\cdot sen^2\ 42}{2\cdot 9.8\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s^2}}} = \fbox{\color{red}{\bm{3.87\ m}}}


x_{m\acute{a}x} = \frac{v_0^2\cdot sen\ (2\theta)}{\cancel{g}} = \frac{13^2\ \frac{m\cancel{^2}}{\cancel{s^2}}\cdot sen\ 84}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{\cancel{s^2}}} = \fbox{\color{red}{\bm{17.2\ m}}}


El máximo alcance se obtiene cuando el ángulo de lanzamiento es \bf 45^o porque el doble del ángulo es 9 0^o y la función seno de la ecuación del alcance máximo toma el valor 1, que es el valor mayor que puede tomar.