Periodo de rotación de un péndulo cónico (7677)

, por F_y_Q

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Un sistema está constituido por un péndulo cónico que gira con una velocidad angular constante. La cuerda con una longitud L = 20 cm forma un ángulo con la vertical \alpha = 30 ^o y está enganchada a una masa m = 5 kg. La masa m se ve afectada por una fuerza vertical F = 20 N. En estas condiciones calcula:

a) El período de rotación del péndulo.

b) Si se mantiene F igual, calcula el valor del nuevo ángulo \phi si la fuerza centrípeta es 50 N.

P.-S.

a) El cálculo del periodo de rotación es simple si aplicas la ecuación del periodo para el péndulo cónico. Como depende del radio de giro y conoces la longitud de la cuerda y el ángulo de giro, puedes escribir la ecuación como:

\color[RGB]{2,112,20}{\bm{T_p = 2\pi\sqrt{\frac{L\cdot cos\ \alpha}{g}}}}

Sustituyes los datos del enunciado, en las unidades correctas, y calculas:

T_p = 2\pi \sqrt{\frac{0.2\ \cancel{m}\cdot cos\ 30}{9.8\ \frac{\cancel{m}}{s^2}}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 0.13\ s}}


b) Necesitas conocer el valor de la tensión de la cuerda para poder hacer este apartado y lo mejor es que dibujes las fuerzas presentes:


(Si clicas en la miniatura podrás ver el esquema con más detalle).

Analizando la dirección vertical, en la que no hay traslación del péndulo porque gira en un plano horizontal, la suma de las fuerzas ha de ser nula:

T_y - p - F = 0\ \to\ T\cdot cos\ 30 = m\cdot g + F\ \to\ \color[RGB]{2,112,20}{\bm{T = \frac{m\cdot g + F}{cos\ 30}}}

La tensión de la cuerda, si se mantiene el mismo valor de F, es:

T = \frac{5\ kg\cdot 9.8\ \frac{m}{s^2} + 20\ N}{cos\ 30} = \color[RGB]{0,112,192}{\bf 79.7\ N}

Al imponer un valor de la fuerza centrípeta, y siendo la componente T_x la única fuerza que hay en la dirección de la fuerza centrípeta, ambas tienen que ser iguales y puedes calcular el nuevo ángulo:

T_x = F_{ct}\ \to\ T\cdot sen\ \phi = F_{ct}\ \to\ \phi = arcsen\ \frac{50\ \cancel{N}}{79.7\ \cancel{N}} = \fbox{\color[RGB]{192,0,0}{\bf 38.9^o}}